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高三數學必背知識點

1、函數的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數,那么f(x)=f(—x);

(2)若f(x)是奇函數,0在其定義域內,則f(0)=0(可用于求參數);

(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式:f(x)±f(—x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所給函數的解析式較為復雜,應先化簡,再判斷其奇偶性;

(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;

2、復合函數的有關問題

(1)復合函數定義域求法:若已知的定義域為[a,b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域,相當于x∈[a,b]時,求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域的原則。

(2)復合函數的單調性由"同增異減"判定;

3、函數圖像(或方程曲線的對稱性)

(1)證明函數圖像的對稱性,即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

(2)證明圖像C1與C2的對稱性,即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上,反之亦然;

(3)曲線C1:f(x,y)=0,關于y=x+a(y=—x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y—a,x+a)=0(或f(—y+a,—x+a)=0);

(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為:f(2a—x,2b—y)=0;

(5)若函數y=f(x)對x∈R時,f(a+x)=f(a—x)恒成立,則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

(6)函數y=f(x—a)與y=f(b—x)的圖像關于直線x=對稱;

4、函數的周期性

(1)y=f(x)對x∈R時,f(x+a)=f(x—a)或f(x—2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;

(2)若y=f(x)是偶函數,其圖像又關于直線x=a對稱,則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;

(3)若y=f(x)奇函數,其圖像又關于直線x=a對稱,則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;

(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱,則f(x)是周期為2的周期函數;

(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱,則函數y=f(x)是周期為2的周期函數;

(6)y=f(x)對x∈R時,f(x+a)=—f(x)(或f(x+a)=,則y=f(x)是周期為2的周期函數;

5、方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);

6、a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7、

(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符號由口訣"同正異負"記憶;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8、判斷對應是否為映射時,抓住兩點:

(1)A中元素必須都有象且;

(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9、能熟練地用定義證明函數的單調性,求反函數,判斷函數的奇偶性。

10、對于反函數,應掌握以下一些結論:

(1)定義域上的單調函數必有反函數;

(2)奇函數的反函數也是奇函數;

(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;

(4)周期函數不存在反函數;

(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;

(6)y=f(x)與y=f—1(x)互為反函數,設f(x)的定義域為A,值域為B,則有f[f——1(x)]=x(x∈B),f——1[f(x)]=x(x∈A);

11、處理二次函數的問題勿忘數形結合

二次函數在閉區間上必有較值,求較值問題用"兩看法":一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;

12、依據單調性

利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題;

13、恒成立問題的處理方法

(1)分離參數法;

(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;